Satz des Pythagoras

Satz des Pythagoras – Vier Übungsaufgaben

Mit diesen vier Übungsaufgaben zum Satz des Pythagoras kannst Du ganz einfach für die Schule lernen und üben und den Satz in der Praxis anwenden! Viel Spaß!

Satz des Pythagoras: Übungsaufgabe 1

1. Ein Geodreick ist ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Grundseite (Hypotenuse) von 15 Zentimetern. Es ist außerdem bekannt, dass es gleichschenklig ist. Wie lang ist ein solcher Schenkel?

Lösung

Da du aus der Aufgabe weißt, dass es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, darfst du den Satz des Pythagoras verwenden. Bekannt ist außerdem die Hypotenuse c = 15 Zentimeter.

In diesem Sonderfall sind die Schenkel (Katheten) gleich lang: a = b. Die Länge dieser Seiten ist gesucht. Dazu stellst du zuerst den Satz des Pythagoras für diesen Fall auf:

c² = a² + a²
15² cm² = 2⋅a²
225 cm² = 2⋅a²

Ziel ist es, a zu isolieren. Deshalb musst du im ersten Schritt durch zwei teilen:

112,5 cm² = a²

Nun musst du die Wurzel aus 112,5 berechnen und kommst zum Ergebnis: Die Seite a ist gerundet 10,6 Zentimeter lang.

Übungsaufgabe 2: Satz des Pythagoras und der Schulweg

Wenn Melanie aus der Schule kommt, muss sie von der Bushaltestelle aus eine Straße überqueren. Obwohl sie es nicht darf, läuft sie diagonal zur anderen Seite, um Weg und Zeit zu sparen. „Wenn ich das jeden Tag mache, sind das in einem Jahr über 1000 Meter weniger“, behauptet sie. Die Straße ist acht Meter breit, von der Haltestelle bis zum Zebratreifen sind es 20 Meter. Sie überquert die Straße diagonal, sodass sie von der Haltstelle bis zur gegenüberliegenden Seite des Fußgängerüberwegs in einem Stück läuft. Stimmt ihre Aussage?

Lösung

Diese Aufgabe ist knifflig, weil du zuerst das rechtwinklige Dreieck finden musst. Es versteckt sich auf der Straße. Die Katheten sind der Zebrastreifen (acht Meter) und der Weg zwischen Haltestelle und Fußgängerüberweg (20 Meter). Die Hypotenuse verläuft diagonal über die Straße und entspricht Melanies verbotener Abkürzung.

Wie weit müsste sie laufen, wenn sie sich an die Verkehrsregeln hält? Die Lösung ist einfach: 20 Meter bis zum Zebrastreifen, dann acht Meter über die Straße, insgesamt also 28 Meter.

Wie lang ist ihre Abkürzung? Gesucht ist die Hypotenuse, der Satz des Pythagoras muss lauten:

c² = a² m² + b² m²
c² = 8² m² + 20² m²
c² = 464 m²

Die Wurzel ergibt, dass die Abkürzung gerundet 21,5 Meter lang ist. Melanie spart damit jeden Tag etwa 6,5 Meter und im Jahr (365 Tage) circa 2372 Meter.

Übungsaufgabe 3: Satz des Pythagoras und die Planung einer Rundfahrt

Die Landstraßen zwischen Bergen, Oberdorf und Simstal ergeben ein rechtwinkliges Dreieck. Die Planer einer Radrundfahrt möchten, dass ihre Tour mindestens 40 Kilometer lang ist. Sie wissen, dass die Strecke von Bergen nach Oberdorf zehn Kilometer lang ist und weitere zwölf Kilometer zwischen Oberdorf und Simstal liegen. Das längste Stück zwischen Simstal und Bergen ist ihnen jedoch unbekannt. Reicht es aus, um auf die gewünschte Länge zu kommen?

Lösung

Auch hier musst du zuerst das rechtwinklige Dreieck ermitteln. Weil gesagt wird, dass die Strecke zwischen Simstal und Bergen die längste ist, muss dies die Hypotenuse sein. Sie ist unbekannt. Daraus folgt, dass die Katheten zehn und zwölf Kilometer lang sind. Diese Werte setzt du ein:

c² = 10² km² + 12² km²
c² = 100 km² + 144 km²
c² = 244 km²

Die gesuchte Strecke ist damit (Wurzel berechnen!) etwa 15,6 Kilometer lang. Die Gesamtstrecke ist mit 15,6 + 10 + 12 = 37,6 Kilometern zu kurz!

Übungsaufgabe 4: Das Rechteck

Ein Rechteck hat eine Diagonale von 15 Zentimetern. Außerdem ist die Seitenlänge a = 10 Zentimeter bekannt. Wie lang ist die fehlende Seite b?

Lösung

Der rechte Winkel des gesuchten Dreiecks liegt in einer der Ecken. Die Diagonale entspricht dann der Hypotenuse und die Seiten sind die Katheten. Folglich lautet der Satz des Pythagoras hier:

b² = c² – a²
b² = 15² cm² – 10² cm²
b² = 225 cm² – 100 cm²
b² = 125 cm²

Die gesuchte Seite ist ungefähr 11,18 Zentimeter lang.

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