Satz des Pythagoras Übungsuafgaben

Satz des Pythagoras: Vier Übungsaufgaben 2018

Übungsaufgabe 1: Bootsfahrt über einen Fluss

Ein Mann überquert mit einem Boot einen Fluss. Der Fluss hat eine Breite von 40 m. Die Zielrichtung seiner Flussüberquerung liegt genau senkrecht zum Flussufer. Durch die Fließgeschwindigkeit des Wassers wird sein Boot im Verlauf seiner Überquerung um 30 m in Fließrichtung des Wassers abgetrieben. Wie groß ist sein tatsächlich zurückgelegter Weg?

Lösung

Du stellst dir vor, die Breite des Flusses von 40 m stellt zugleich eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks dar. Wir benennen diese Kathete mit a. Die Fläche dieses Kathetenquadrates beträgt:

a2 = 40 m x 40 m = 1.600 m2

Weiter stellst du dir vor, die Wegabweichnung in Strömungsrichtung des Wassers von 30 m stellt die andere Kathete des rechtwinkligen Dreiecks dar. Diese Kathete, wir benennen sie mit b, steht senkrecht auf der Kathete a. Dieses Kathetenquadrat hat eine Fläche von:

b2 = 30 m x 30 m = 900 m2

Die Summe aus diesen beiden Flächen bildet die Fläche des zugehörigen Hypotenusenquadats, das wir mit c2 bezeichnen wollen.

c2 = a2 + b2

c2 = 1.600 m2 + 900 m2

c2 = 2.500 m2

Das Hypotenusenquadrat besteht wie jedes Quadrat aus 4 gleichlangen Seiten, wobei die Hypotenuse eines Seite dieses Quadrats ist. Diese Hypotenuse ist zugleich der tatsächlich zurückgelegte Weg des Bootes auf seiner Fahrt über den Fluss.

Du erhältst die Länge dieser Hypotenuse, indem du die Wurzel aus c2 ziehst.

c = √c2

c = √2.500 m2

c = 50 m.

Der tatsächlich zurückgelegte Weg über den Fluss beträgt 50 m.

Übungsaufgabe 2: Leuchtfeuer auf Leuchtturm

Ein Leuchtturm auf dem Meer hat eine Höhe h = 80 m. Wie nahe muss ein vorbeifahrendes Schiff dem Leuchtturm kommen, um das Leuchtfeuer sehen zu können?

Lösung

Du stellst dir die Erde als ideale Kugel vor. Der Erdradius beträgt r = 6.370 Km. Vom Ausguck des Leuchtturms auf der Höhe des Leuchtfeuers stellst du dir eine gedachte, gerade Linie vor, die bis zum Horizont reicht. So wie ein Lineal, das man tangential auf einen runden Ball auflegt, stellt der Berührpunkt der gedachten Linie auf der Wasseroberfläche den am weitesten entfernten Punkt dar, den man vom Leuchtfeuer aus sehen kann. Diese gedachte Linie wollen wir mit a bezeichnen. Wenn du dir nun von diesem Berührpunkt eine weitere Linie vorstellst, die zum Erdmittelpunkt reicht, so bildet diese zweite Linie einen rechten Winkel zur Seite a. Zugleich entspricht die zweite Linie dem Erdradius r. Die Mittelachse des Leuchtturms steht senkrecht zur Wasseroberfläche, das bedeutet, wenn du diese Mittelachse vom Leuchtfeuer angefangen nach unten verlängerst, triffst du genau den Erdmittelpunkt. Die Höhe h des Leuchtturms bildet in Summe mit dem Erdradius r die Hypotenuse dieses rechtwinkligen Dreiecks.

In Anwendung des Pythagoras kannst du also folgende Gleichung aufstellen:

a2 + r2 = (r+h)2

Die Seite a entspricht der größten Entfernung, die man vom Leuchtfeuer zur Meeresoberfläche aus sehen kann. Das bedeutet, du musst jetzt die Gleichung nach a umstellen.

a2 = (r+h)2 – r2

a2 = (6.370 km + 0,08 km)2 – (6.370 km)2

a2 = 1.019,206 km2

Jetzt brauchst du nur noch die Quadratwurzel aus a2 zu ziehen.

a = √a2

a = √1.019,206 km2

a = 31,925 km.

Das Schiff kann maximal 31,925 km vom Leuchtturm entfernt sein, damit ein Beobachter auf dem Schiff gerade noch das Leuchtfeuer sehen kann.

Übungsaufgabe 3: Gleitflug Segelflugzeug

Ein Segelflugzeug wird von einem Motorflugzeug auf eine Höhe h = 100 m geschleppt. Danach wird das Schleppseil ausgeklinkt. Die Gleitzahl des Segelflugzeugs beträgt E = 45. Wie lang ist die Strecke c, die das Segelflugzeug ohne Antrieb aus 100 m Höhe bis zur Erde zurücklegt?

Lösung

Gleitzahl E = 45 bedeutet, dass das Segelflugzeug auf 45 m Flugstrecke 1 m an Höhe verliert. Für dich bedeutet das, dass bei einer Flughöhe von 100 m die auf die Waagerechte bezogene Flugstrecke a auch 100 mal so lang ist.

a = 45 m * 100

a = 4.500 m

In Wirklichkeit ist die Flugrichtung des Segelflugzeuges jedoch schräg nach unten gerichtet, bis die gedachte Fluglinie c die Erdoberfläche berührt. Diese Fluglinie c ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, zu dem die Katheten h und a gehören. Du kannst jetzt wieder das Hypotenusenquadrat c2 unter Anwendung des Pythagoras berechnen.

c2 = h2 + a2

c2 = (100 m)2 + (4.500 m)2

c2 = 20.260.000 m2

Jetzt ziehst du wieder die Quadratwurzel aus c2.

c = √c2

c = √20.260.000 m2

c = 4.501,1 m.

Die Flugstrecke c = 4.501,1 m lang.

Übungsaufgabe 4: Breitengradnetz der Erde

Die Erdoberfläche ist in Längen- und Breitengrade eingeteilt. Die Breitengrade bilden konzentrische Kreise um die Rotationsachse der Erdkugel. Dabei hat der Äquator als 0. Breitengrad den größten Umfang um die Erdrotationsachse. Zu den Erdpolen hin werden die Umfänge der Breitengrade um die Erdachse immer kleiner, bis sie schließlich an den Erdpolen jeweils am 90. Breitengrad den Wert 0 erreichen. Wie groß ist am 52. Breitengrad der Abstand b eines Punktes auf der Erdoberfläche von der Erdrotationsachse?

Lösung

Die Erde ist für dich eine ideale Kugel. Der Erdradius ist bekannt mit r = 6.370 Km. Der Erdradius vom Erdmittelpunkt zu dem Punkt auf dem 52. Breitengrad bildet die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Die zugehörigen Katheten sind einmal der Abstand a des Punktes auf dem 52. Breitengrad bis zum Äquator und der Abstand b zur Erdrotationsachse. Die Seiten a und b stehen senkrecht aufeinander. Den Abstand des Punktes vom 52. Breitengrad bis zum Äquator berechnest du hilfsweise mit einer bekannten trigonometrischen Winkelfunktion.

b = r * sin (52°)

b = 6.370 km * 0,78801075

b = 5.019,629 km.

Mit der Hypotenuse r und der Seite b des rechtwinkligen Dreiecks kannst du jetzt unter Anwendung des Pythagoras das Kathenquadrat der Seite a berechnen.

a2 = r2 – b2

a2 = (6.370 km)2 – (5.019,629 km)2

a2 = 15.380.229,717 km2

Um die gesuchte Seite a zu erhalten, ziehst du wieder die Quadradwurzel aus a2.

a = √a2

a = √15.380.229,717 km2

a = 3.921,764 km.

Der Abstand des Punktes a auf dem 52. Breitengrad zur Erdrotationsachse beträgt 3.921,764 km.

Fazit

Der Satz des Pythagoras findet häufig Anwendung in der Geometrie und vor allem in der Technik. Hier kommt es immer wieder vor, dass vektorielle Größen in Komponenten zerlegt werden müssen. Diese Komponentenzerlegung erfolgt neben der Anwendung der trigonometrischen Winkelfunktionen auch durch den Satz des Pythagoras.

Die Berechnung von Abständen der verschiedenen Breitengrade zur Erdrotationsachse, wie in Übungsaufgabe 4 beschrieben, wird beispielsweise dann interessant, wenn man die unterschiedlichen Fliehkrafteinflüsse durch die Erdrotation untersuchen will.

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