Rechnen mit dem Satz des Pythagoras

Satz des Pythagoras: Vier neue Textaufgaben

Mit den ersten Aufgaben hast Du den Satz des Pythagoras bereits gut üben können! Jetzt kommen ganz frisch neue Aufgaben für Dich – und das Schuljahr 2018 wird zum Kinderspiel! (Jedenfalls was den Satz des Pythagoras angeht… ? ) Viel Spaß und Erfolg beim üben!

Übungsaufgabe 5

Durch einen Sturm ist ein Baum auf 4 Metern Höhe abgeknickt. Seine Spitze liegt 15 Meter vom Stamm entfernt. Wie groß war der Baum?

Lösung

Der Baum wächst rechtwinklig zum Boden. Die Strecke vom Boden bis zur Bruchstelle ist die Länge der Kathete a, also 4 Meter. Die Strecke von 15 Metern zwischen Stamm und Spitze ist die andere Kathete b. Die unbekannte Hypotenuse c ist die Strecke vom Bruch zur Spitze. Mit dem Satz des Pythagoras erhältst du:

c² = a² + b²
c² = 4² m²+ 15² m²
c² = 241 m²

Ziehen der Wurzel ergibt gerundet:

c = 15,52 m

Die Größe des Baumes ergibt sich als die Summe der Strecke vom Boden zum Bruch, also den bekannten 4 Metern, und der vom Bruch bis zur Spitze, also den berechneten 15,52 Metern.

4 m + 15,52 m = 19,52 m

Folglich war der Baum 19,52 Meter hoch.

Übungsaufgabe 6

Ein Tischler möchte zwei Holzplatten senkrecht zueinander ausreichten. Es misst dazu auf der einen Latte 90 Zentimeter, auf der anderen 120 Zentimeter ab und markiert die Stellen. Im Anschluss richtet er die Platten so aus, dass die markierten Punkte einen Abstand von 150 Zentimetern haben. Sind die Latten dann rechtwinklig zueinander? Erkläre.

Lösung

Die beiden Strecken auf den Holzlatte stellen die Katheten eines Dreiecks dar. Die Kathete a misst 90 Zentimeter, die Kathete b 120 Zentimeter. Der gemessene Abstand der Punkte ist die Hypotenuse c. Nach Voraussetzung ist c 150 Zentimeter lang.
Der Satz des Pythagoras gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken. Ist er für diese Strecken erfüllt, so liegen die Latten rechtwinklig zueinander. Dies prüfst du ganz einfach nach:

c² = a² + b²
150² cm² = 90² cm² + 120² cm²
22500 cm² = 8011 cm² + 14400 cm²
22500 cm² = 22500 cm²

Da die Gleichheit erfüllt ist, liegen die Latten im Rechten Winkel zueinander.

Übungsaufgabe 7

In Barcelona steht das Naturwissenschaftsmuseum Museu Blau. Sein Grundriss ist ein gleichseitiges Dreieck mit 180 Metern an jeder Seite. Berechne die Länge des Museums.

Lösung

Die Länge des Museums entspricht der Höhe des Dreiecks. Da es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt, sind alle Höhen gleich lang.
Die gesuchte Höhe a ist nun die eine Kathete im Dreieck. Die Hypotenuse c ist die Länge des Dreiecks, also 180 Meter. Die zweite Kathete b berechnest du, indem du die Länge des Dreiecks halbierst, denn die Höhe steht senkrecht auf der Grundseite und halbiert sie. Du erhältst damit:

b = 180 m : 2
b = 90 m

Wir setzen das in den Satz des Pythagoras ein:

c² = a² + b²

Umgestellt nach der gesuchten Seite a und Einsetzen der bekannten Größen liefert:

c² – b² = a²
180² m² – 90² m² = a²
24300 m² = a²

Nach dem Ziehen der Wurzel folgt gerundet:

a = 155,88 m

Das Museum ist 155,88 Meter lang.

Übungsaufgabe 8

Ein Lagergebäude ist 45 Meter lang und 35 Meter breit. Sein Dach ist ein Pultdach, das sich auf der einen Seite 5 Meter, auf der anderen Seite 8 Meter über dem Boden befindet. Es soll neu gedeckt werden. Berechne die Dachfläche.

Lösung

Die Dachfläche ist ein Rechteck. Zur Flächenberechnung ist dessen Länge und Breite gesucht.
Die Länge kennen wir bereits: Sie entspricht der Länge der Lagerhalle, also 45 Metern.
Die Hypotenuse c des Dreiecks ist die gesuchte Breite des Daches. Die eine Kathete a ist die Breite der Lagerhalle, also 35 Meter. Um die Länge der anderen Kathete b zu bestimmen, musst du die Differenz der Höhen des Daches über dem Boden bilden. Als Rechnung:
8 m – 5 m = 3 m
Die Länge der Kathete b beträgt also 3 Metern. Diese Angaben kannst du nu im Satz des Pythagoras verwenden:

c² = a² + b²
c² = 35² m² + 3² m²
c² = 1234 m²

Um nun den Wert für c zu bekommen, ziehst du die Wurzel und erhältst gerundet:

c = 35,13 m.

Zuletzt können wir jetzt die Dachfläche berechnen. Der soeben berechnete Wert c ist die Breite des Daches und oben wurde bereits geklärt, dass die Länge 45 Meter beträgt. Für die Fläche ergibt sich folglich:

A = 45 m · 35,13 m
A = 1580,85 m²

Die Dachfläche beträgt 1580,85 Quadratmeter.

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