Der Satz des Pythagoras

Endlich einfach erklärt!

Das ABC des Pythagoras

Ein rechtwinkliges Dreieck, zwei bekannte Seiten – mehr brauchst du nicht, um den Satz des Pythagoras erfolgreich anwenden zu können. Zugegeben, in manchen Fällen ist ein Taschenrechner eine gute Hilfe. Grundsätzlich geht es bei fast allen Aufgaben darum, eine unbekannte Seitenlänge auszurechnen. Das machst du, indem du die bekannten Größen in den Satz des Pythagoras einsetzt und die fehlende Zahl ausrechnest. Bleibt die Frage: Woher stammen die „bekannten" Größen? Antwort: Diese müssen immer aus der Aufgabenstellung hervorgehen. Mit ein wenig Übung sind typische Aufgaben aus diesem Bereich daher schnell lösbar.

Die einfachste Erklärung des Satz des Pythagoras

Es geht um Dreiecke und wie Du die Länge der verschiedenen Seiten eines Dreiecks berechnen kannst. Ganz wichtig: All das funktioniert nur mit einem rechtwinkligen Dreieck - das bedeutet, dass es irgendwo im Dreieck einen rechten Winkel geben muss. Wo, ist egal. Die drei Seiten des Dreiecks bekommen nun jeweils einen Buchstaben als Namen: a, b und c. Was können wir mit dem  Satz des Pythagoras nun machen? Sobald wir wissen, wie lang zwei der drei Seiten sind, können wir damit berechnen, wie lang die dritte Seite ist.

Wissen wir also, dass die Seite mit dem Namen a fünf Zentimeter lang ist und die Seite mit dem Namen b 12 Zentimeter lang ist, können wir nun herausfinden, wie lang die Seite c ist.

Dazu müssen wir aber einen Umweg gehen. Nur mit der Länge von und b können wir nichts anfangen, wir müssen sie ins Quadrat setzen - also hoch 2 nehmen. Aus den Seiten des Dreiecks werden nun also drei Quadrate, die gegeneinander stoßen und aus ab, und c ist , und   geworden. Jetzt kommt das Geniale des Satzes des Pythagoras: Wir müssen nun nur und  b² zusammenrechnen und bekommen damit  heraus! Das beutetet, die beiden Quadrate von a und b sind zusammen genauso groß, wie das Quadrat von c. Wenn wir danach die Wurzel aus c² ziehen erhalten wir die Länge von c - und die Aufgabe ist gelöst!

Was ist der Satz des Pythagoras – ein Blick ins Detail

Weiterlesen, versprochen? Dann kommt hier die wissenschaftliche Definition des Satzes von Pythagoras – dabei keine Sorge, das Folgende lässt sich später weitaus einfacher erklären: In einem ebenen Dreieck ist die Summe der Flächen der Quadrate über den Katheten gleich der Fläche des Quadrates über der Hypotenuse. Kurz durchatmen und weiter geht’s.

Im Prinzip enthält dieser Satz alle wesentlichen Informationen. Allerdings sind die Aussagen zum Teil in so feinen Details verborgen, dass ein gründliches „Auseinandernehmen" ratsam ist.

Zunächst eine ganz wichtige Feststellung: Der Satz des Pythagoras gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken. Vor jeder Rechnung muss daher klar sein, dass diese Voraussetzung erfüllt ist. Zusatzbemerkung: Streng genommen muss es heißen, dass der Satz nur in ebenen rechtwinkligen Dreiecken gilt. In der Schule wird im Allgemeinen jedoch grundsätzlich nur die Geometrie der Ebene behandelt. Insofern kann dieser Zusatz vernachlässigt werden. Für Anwendungen im dreidimensionalen Raum ist es jedoch relevant, dass sich Dreiecke auf Kugeloberflächen anders verhalten als ungekrümmte.

Nun zu den Dreiecksseiten, die eine besondere Bedeutung für den Satz des Pythagoras haben. Grundsätzlich hat jedes Dreieck drei Seiten, die in der Regel mit „a", „b" und „c" bezeichnet werden. Im rechtwinkligen Dreieck sind zwei davon sogenannte Katheten, die andere ist die Hypotenuse. Wie werden diese unterschieden? Die Katheten liegen am rechten Winkel an. In der Standard-Bezeichnung erhalten sie die Namen „a" und „b". Gegenüber dem rechten Winkel liegt die Hypotenuse „c". Sie ist außerdem dadurch gekennzeichnet, dass sie die längste Seite im Dreieck ist. Das ist jedoch mit bloßem Auge nicht immer eindeutig zu erkennen.

Katheten, Hypotenuse und Voraussetzungen für den Satz sind damit erläutert. Jetzt fehlt dir nur noch die wichtige Erkenntnis zum Verhältnis der Flächen der Quadrate über den Seiten. Was ist damit überhaupt gemeint?

Ein Quadrat hat vier rechte Winkel und vier Seiten, die alle gleich lang sind. Das heißt: Wenn nur eine Seite bekannt ist, lässt sich daraus bereits ein Quadrat zeichnen. Als Grundseite können dafür zum Beispiel die Seiten a, b und c des rechtwinkligen Dreiecks dienen. Dann ergibt sich ein Gebilde aus einem zentralen Dreieck mit drei Quadraten, die direkt an den Seiten anliegen.

Warum das Ganze? Weil die Flächen dieser Quadrate in einem bestimmten Verhältnis zueinander stehen: Addierst du den Flächeninhalt des Quadrats über a mit dem des Quadrats über b, ist das Ergebnis immer gleich dem Flächeninhalt des Quadrats über c. Oder einfacher: a² + b² = c². Und so lautet die Formel für den Satz des Pythagoras.

 

Wann wird der Satz des Pythagoras angewendet?

Wie schon erwähnt, wird der Satz des Pythagoras nur für rechtwinklige Dreiecke verwendet. Diese sind in der Geometrie jedoch so häufig, dass eine intensive Beschäftigung mit ihnen lohnenswert ist. Oft ist es zudem so, dass du komplizierte Flächen in einfachere Grundformen zerlegen kannst. Schon der schlichte Grundriss eines Zimmers ist häufig nicht quadratisch oder rechteckig, sondern aus mehreren Teilen zusammengesetzt. In vielen Fällen treten dabei rechtwinklige Dreiecke auf.

Rechnen mit dem Satz des Pythagoras

Mit dem Satz des Pythagoras rechnen

In der Schule besteht die konkrete Anwendung des Satzes meistens darin, fehlende Seiten zu berechnen. Wenn du die Formel umstellst, kannst du die Länge einer beliebigen Seite bestimmen – sofern die anderen beiden bekannt sind. Dann gilt:

a² = c² - b²
b² = c² - a²
c² = a² + b²

Vorsicht jedoch bei der Lösung! Wie du später im Beweis sehen wirst, funktioniert der Satz nur mit Quadraten. Die Behauptung a + b = c ist daher falsch! Um mit vorgegebenen Zahlen richtig zu rechnen, musst du deshalb zwangsläufig mit Quadratzahlen umgehen können. Zur Erinnerung: a² = a ⋅ a.

Ein Beispiel

Nach der Vielzahl von Buchstaben und Formeln nun endlich ein Beispiel mit Zahlen. Von einem rechtwinkligen Dreieck sind die Seiten a = 3 Zentimeter und c = 5 Zentimeter bekannt. Wie groß ist die Seite b? Dazu musst du die umgestellte Formel benutzen:

b² = c² - a²

Dann die Zahlen einsetzen:

b² = 5² cm² - 3² cm² = 25 cm² - 9 cm² = 16 cm²

Du weißt nun, dass b² gleich 16 ist. Gesucht ist jedoch nicht der Flächeninhalt des Quadrats, sondern die Länge der Seite. Im Klartext müssen wir gewissermaßen das Quadratzeichen „entfernen". Um aus einer Quadratzahl die ursprüngliche Zahl zu ermitteln, wird die Wurzel berechnet. Im Beispiel sieht das folgendermaßen aus:

√b² = √16 cm²
b = 4 cm

Das Ergebnis lautet damit: Die gesuchte Seitenlänge beträgt vier Zentimeter.

Die zweite Anwendung des Satzes von Pythagoras

Neben der Berechnung von Dreiecksseiten gibt es noch eine zweite Anwendungsmöglichkeit für den Satz, die jedoch seltener genutzt wird. Grund dafür ist, dass die Rechnung kürzer und einfacher ist – insofern würde dieser Bereich keine Klassenarbeit füllen. Du hast gesehen, dass wir mit dem Satz des Pythagoras fehlende Seiten im rechtwinkligen Dreieck ausrechnen können. Außerdem hast du gelernt, dass der Satz nur im rechtwinkligen Dreieck gilt. Wenn nun von einem Dreieck alle Seiten bekannt sind, kannst du mit dem Satz prüfen, ob es rechtwinklig ist. Ist das der Fall, muss a² + b² = c² gelten.

Erstes Beispiel

Das kannst du zum Beispiel am Dreieck a = 5 Zentimeter, b = 12 Zentimeter und c = 13 Zentimeter testen.

a² + b² = c²
5² cm² + 12² cm² = 13² cm²
25 cm² + 144 cm² = 169 cm²
169 cm² = 169 cm²

Das Ergebnis stimmt, das Dreieck ist daher rechtwinklig.

Zweites Beispiel

Anders verhält es sich bei der Kombination a = 1 Zentimeter, b = 2 Zentimeter und c = 3 Zentimeter:

1² cm² + 2² cm² = 3² cm²
1 cm² + 4 cm² = 9 cm²
5 cm² = 9 cm²

Diese Aussage ist falsch, das zugehörige Dreieck ist nicht rechtwinklig!

Zusatzwissen: Das pythagoreische Trippel

Drei natürliche Zahlen, die wie im ersten Beispiel den Satz des Pythagoras erfüllen, gelten in der Mathematik als besonders. Sie werden als pythagoreisches Tripel bezeichnet. Historische Funde belegen, dass Menschen bereits vor Jahrtausenden die Bedeutung solcher Tripel kannten.

Warum gilt der Satz des Pythagoras? Wie kann man ihn beweisen?

Dass der Satz des Pythagoras heute nach dem griechischen Philosophen Pythagoras von Samos benannt ist, hat mit dem Beweis zu tun. Als erster Mensch soll dieser einen Nachweis für die allgemeine Gültigkeit gefunden haben. Ob er tatsächlich der Erste war, ist allerdings umstritten. Fakt ist, dass er bis heute bei weitem nicht der Einzige geblieben ist. Mittlerweile gibt es über 100 verschiedene Beweise. Schon diese Fülle zeigt, dass der Satz des Pythagoras für die Geometrie sehr bedeutend ist.

Viele der Beweise sind sehr mathematisch und durchaus als kreativ zu bezeichnen. Glücklicherweise gibt es unter den zahlreichen Varianten auch einige Beispiele, die einfach und nachvollziehbar sind. Im Folgenden werden ein algebraischer Beweis (durch Rechnung mit Unbekannten) und ein geometrischer Beweis (durch Überlegungen an Dreiecken und Quadraten) vorgestellt. Je nach Lerntyp kannst du wählen, welche Methode dir lieber ist – beide Ansätze führen zum gleichen Ziel.

Vorher aber kannst Du hier einen ganz praktischen Beweis für den Satz des Pythagoras sehen. Hier hat sich jemand die Mühe gemacht, die Quadrate, die an das rechtwinklige Dreieck anstoßen, als Plexiglasbehälter nachzubauen und miteinander zu verbinden. Dann wurde in die Behälter eine farbige Flüssigkeit gefüllt. Wie Du hier sehr schön sehen kannst, füllt die Flüssigkeit, die in den beiden kleinen Quadraten - also a² + b² - genau das große Quadrat, also  c².  Der Satz des Pythagoras stimmt also!

 

via GIPHY

 

Algebraischer Beweis für den Satz des Pythagoras

Ganz ohne Geometrie gelingt dieser Beweis nicht. Benötigt wird ein Quadrat mit der Seitenlänge a + b, das entsprechend den Flächeninhalt (a + b)² besitzt. In jede Ecke dieses Quadrats kannst du ein rechtwinkliges Dreieck einzeichnen, dessen Katheten a und b sind. Als Hypotenuse ergibt sich eine Strecke c im Inneren des Vierecks. Insgesamt existieren vier solcher Dreiecke, deren Hypotenusen im rechten Winkel aufeinandertreffen und ihrerseits ein Quadrat mit dem Flächeninhalt c² einschließen. Zusammen mit den Flächen der Dreiecke (vier Mal a ⋅ b / 2 = 2⋅a⋅b) füllen sie den gesamten Inhalt des großen Quadrats. Als Gleichung folgt daraus:

(a + b)² = 2⋅a⋅b + c² (zwei Arten, den Flächeninhalt darzustellen, die selbstverständlich das gleiche Ergebnis liefern müssen)

Die Klammer auf der linken Seite wird mit Hilfe der ersten binomischen Formel gelöst:

a² + 2⋅a⋅b + b² = 2⋅a⋅b + c²

Weil der Term 2⋅a⋅b auf jeder Seite vorkommt, kannst du ihn herauskürzen. Übrig bleibt die bekannte Form des Satzes von Pythagoras:

a² + b² = c²

Geometrischer Beweis

Für den geometrischen Beweis werden zwei Quadrate mit den Seitenlängen a + b benötigt.

Das erste Quadrat wird analog zum algebraischen Beweis in vier rechtwinklige Dreiecke und ein Quadrat mit der Seitenlänge c unterteilt. Das zweite Quadrat wird so aufgeteilt, dass sich zwei kleinere Quadrate mit den Seitenlängen a beziehungsweise b darin befinden. Übrig bleiben zwei Rechtecke mit den Seitenlängen a und b. Darin kannst du jeweils zwei rechtwinklige Dreiecke unterbringen, die denen aus dem ersten Quadrat exakt entsprechen. Beide Quadrate enthalten somit vier gleiche Dreiecke, die daher denselben Flächeninhalt haben. Die übrige Fläche des Quadrates entspricht einmal c² und einmal a² + b². Diese müssen folglich ebenfalls gleich groß sein – es ergibt sich auch hier der Satz des Pythagoras.

Was bringt der Satz des Pythagoras? Warum muss ich ihn lernen?

Formeln, Rechenbeispiele, ein griechischer Philosoph und eine Menge Dreiecke liegen nun hinter dir. Klar, dass sich jetzt die Frage stellt: Warum das alles? Die Beschäftigung mit dem Satz des Pythagoras in der Schule hat mehrere gute Gründe. Zunächst ist er ein wichtiger Teil der Geometrie. Rechtwinklige Dreiecke werden dir in deiner Schulzeit häufig begegnen. Mit dem Satz hast du ein gutes Instrument zur Hand, um sie zu berechnen. Daneben dient die Berechnung von Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken oft dazu, weitere Themenbereiche aufzuarbeiten. So sind Potenzen und Wurzeln eng mit dem Satz des Pythagoras verknüpft. Dabei zeigt sich jeweils, wofür du die einzelnen Kompetenzen benötigst.

Wenn du dich eingehender mit mathematischen Problemen beschäftigen möchtest, wirst du zunehmend mathematisch arbeiten müssen. Dazu gehört grundsätzlich eine schlüssige Beweisführung. Der Satz des Pythagoras ist ein sehr schönes historisches Beispiel dafür. Nicht nur, dass er seinem Namensgeber ein Denkmal gesetzt hat, außerdem ist er vergleichsweise überschaubar und intuitiv verständlich. Auf diese Weise lernst du, wie ein mathematischer Beweis aussehen kann und wie er hergeleitet wird.

Den Satz des Pythagoras zu lernen, ist denkbar einfach, da nur die ersten drei Buchstaben des Alphabets darin vorkommen. Formeln dieser Art nachzuschlagen, verbraucht in den meisten Fällen zu viel Zeit. Ein guter Tipp, um in Klassenarbeiten zum Satz des Pythagoras erfolgreich zu sein, ist daher: a² + b² = c² auswendig lernen!

Kann ich den Satz des Pythagoras im Alltag brauchen?

Beim jüngsten Sturm ist am Ende deiner Straße eine große Buche umgeknickt. Die Bruchstelle befindet sich in zwei Metern Höhe, die Spitze liegt zehn Meter weiter auf der Erde. Alle rätseln: Wie groß ist der stattliche Baum tatsächlich gewesen? Zufällig hast du soeben etwas über den Satz des Pythagoras in der Schule gelernt...

Zugegeben, diese Situation kennst du eher aus dem Schulbuch als aus dem wirklichen Leben. Dennoch ist der Satz des Pythagoras im Alltag keinesfalls unwichtig. Oft liegt er Berechnungen zugrunde, die du häufig nutzt. So findet er zum Beispiel Anwendung in 3D-Graphiken, wo Abstände im dreidimensionalen Raum auf diese Weise berechnet werden. Glücklicherweise übernehmen Smartphone und Co. die oft komplexen Rechnungen. Das heißt, du musst weder die Position des Balls in der Fußballsimulation noch den Abstand zum Drachen im Adventure-Game selbst bestimmen.

Im echten täglichen Leben ist der zweite Nutzen des Satzes viel relevanter. Schon in der Antike waren Knotenschnüre ein wichtiges Hilfsmittel. Sie wurden verwendet, um rechte Winkel darzustellen. Besonders bekannt ist die Zwölfknotenschnur, die möglicherweise schon beim Bau der Pyramiden zum Einsatz kam.

Das Funktionsprinzip ist wie folgt: Die Schnur ist mit Hilfe von zwölf Knoten in zwölf gleich lange Abschnitte unterteilt. Wenn du daraus ein Dreieck mit den Seitenlängen drei, vier und fünf „Knoten" spannst, ergibt sich ein rechter Winkel. Das Zahlentriplett kommt dir vielleicht aus einem Beispiel weiter oben bereits bekannt vor – es ist das einfachste pythagoreische Tripel.

Noch heute behelfen sich Handwerker und insbesondere Bushcrafter und Bastler mit dieser Methode, um rechte Winkel zu ermitteln.

Am Ende bleibt aber eines wichtig: Es geht vor allem darum, dass Du lernst zu lernen. So abgedroschen dieser Satz ist, so richtig ist er auch. Wenn Du es schaffst, Dich in der Schule mit dem Satz des Pythagoras erfolgreich auseinander zu setzen und ihn verstehen und anwenden kannst, dann werden dir diese Erfahrungen später eine Menge bringen. Was Du in der Schule lernst ist eben nicht immer eins zu ein im Alltag zu gebrauchen - auch wenn Dich das jetzt gerade vielleicht nerven sollte.

In welcher Klasse wird der Satz des Pythagoras gelernt?

Ob es nun die achte, neunte oder zehnte Klasse ist, in der dir der Satz zum ersten Mal begegnet, liegt am Bundesland und an der Schule, die du besuchst. In einer der Klassenstufen wir die berühmte Formel auf jeden Fall Thema sein.

In jedem Fall gilt, dass du den Satz des Pythagoras als Grundlage für fast alle folgenden Klassen benötigst. Selbst im Abitur wird es gelegentlich nötig, mit seiner Hilfe ein rechtwinkliges Dreieck zu berechnen.

MerkenMerken

Übungsaufgaben zum Satz des Pythagoras

Satz des Pythagoras: Vier Übungsaufgaben 2018

Vier neue herausfordernde Übungsaufgaben für den Satz des Pythagoras. So kannst Du Dich perfekt auf Schule, Unterricht und Prüfung vorbereiten.
Jetzt üben!

Satz des Pythagoras: Vier neue Textaufgaben

Vier Aufgaben, mit denen Du den Satz des Pythagoras perfekt üben kannst! Das Schuljahr 2018 wird zum Kinderspiel! (Jedenfalls was den Satz des Pythagoras angeht...  ) Viel Spaß und Erfolg beim üben!
Jetzt üben!

Satz des Pythagoras – Vier Übungsaufgaben

Mit diesen vier Übungsaufgaben zum Satz des Pythagoras kannst Du ganz einfach für die Schule lernen und üben und den Satz in der Praxis anwenden! Viel Spaß!
Jetzt üben!

 

Wer war Pythagoras?

Pythagoras von SamosPythagoras von Samos war ein griechischer Philosoph und Mathematiker. Er hat von ca. 570 v. Chr. bis 510 v. Chr. gelebt und wurde auf der Insel Samos in Griechenland geboren. So richtig berühmt wurde er aber für sein Werk in Süditalien, wo er eine Schule gründete. Er ist eine ziemlich umstrittene und auch verwirrende Figur - manche halten ihn für einen begnadeten Mathematiker, andere sagen, er hätte nur religiöse Ideologien vertreten. Bekannt ist er natürlich durch den nach ihm benannten Satz des Pythagoras geworden. Hier erfährst Du noch viel mehr über Pythagoras und sein Leben!

Bücher über den Satz des Pythagoras

Hast Du Lust bekommen, noch mehr zu üben und dann bei der nächsten Mathe-Arbeit so richtig zu glänzen? Dann schau Dir einmal diese Bücher an, die wir Dir hier empfehlen. Hier erfährst Du noch viel mehr und bekommst auch viele gute Übungsaufgaben!

Hat Dir diese Seite weitergeholfen? Dann lass uns einen Kommentar da! Danke!

Kommentar verfassen

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind mit * markiert.